凱利公式

凱利公式（Kelly Criterion）是 1956 年 Bell Labs 的物理學家 John Kelly Jr. 在研究電報線雜訊時推導出來的最佳化公式，原本用在訊號處理，後來被 Edward Thorpe 帶進賭場（21 點算牌）、再被 Bill Gross 帶進華爾街（PIMCO 債券交易），如今是運彩、撲克、量化交易共用的資金管理基石。它要解的問題很直接：當你知道某個機會的勝率 p 和賠率 b，下注多大比例（佔當前資金）能讓長期資金成長率（geometric growth rate）最大化？答案不是「all in」也不是「固定 5%」，而是一個跟 edge 大小成正比的動態比例。

公式本身：f* = (b × p − q) / b，其中 b = 淨賠率 = decimal 賠率 − 1（例如 decimal 2.10 → b = 1.10）、p = 你估的真實勝率、q = 1 − p。f* 就是建議押注比例（佔當前資金）。範例 1：賠率 2.10、勝率 55% → f* = (1.10 × 0.55 − 0.45) / 1.10 = (0.605 − 0.45) / 1.10 = 0.141 = 14.1%。範例 2：賠率 1.90、勝率 58% → f* = (0.90 × 0.58 − 0.42) / 0.90 = (0.522 − 0.42) / 0.90 = 0.113 = 11.3%。範例 3：賠率 3.50、勝率 32% → f* = (2.50 × 0.32 − 0.68) / 2.50 = (0.80 − 0.68) / 2.50 = 0.048 = 4.8%。可以看到 f* 會隨 edge 大小自動調整：edge 越大、賠率越低、押越大；edge 小、賠率高、押越小。

實戰上幾乎沒人跑「全凱利」。原因：全凱利的數學保證是「長期最大成長率」，但代價是極高的單期波動 — 模擬 1000 注後資金 -50% 的機率約 30%，單周可能 -40%。對心理承受度與 drawdown 容忍度而言這太兇了。所以業界標準是 half-Kelly（× 0.5）：犧牲 25% 的長期成長率，換來 50% 的單期波動降低，是性價比最高的折衷。更保守的玩家用 quarter-Kelly（× 0.25），尤其當「你估的勝率」本身有 noise 時。OkayAI 預設推薦 quarter 到 half-Kelly 之間，因為五信號融合算出的勝率仍有 ±2~3% 的標準誤差，全凱利會放大這個 error。

凱利的隱藏陷阱：它的數學保證假設「你估的勝率是對的」。如果你高估真實勝率，凱利會放大這個錯誤 — 例如真實勝率 50% 你估 55%、賠率 2.10：你以為 f* = 14.1%，但真實 f* = (1.10 × 0.50 − 0.50) / 1.10 = 4.5%。你押了 14.1% = 真實 f* 的 3 倍，長期 ROI 反而轉負。所以凱利的關鍵不是「公式怎麼算」而是「你對勝率的估計有多準」。OkayAI 之所以五信號融合 + 28 個月回測，目的就是把勝率估計的標準誤差壓到最低（目前 ±2.1%），讓凱利公式有發揮的基礎。延伸閱讀 → /tools/kelly-criterion 直接試算。